El sencillo desafío de las potencias de dos que nadie ha podido resolver

En 2021 comenzó a circular un desafío matemático tan simple de enunciar como difícil de resolver.

La consigna es la siguiente:

Elegir tres números enteros distintos (pueden ser positivos o negativos) de manera tal que la suma de cada par de números sea una potencia de 2.

Los números no pueden repetirse, aunque sí puede repetirse el resultado de las sumas.

Recordemos que las potencias de 2 son los números que se obtienen al elevar 2 a distintos exponentes:

2⁰ = 1

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

Si el desafío fuera elegir solo dos números, el problema sería trivial.

Por ejemplo, 1 y 3 funcionan perfectamente, ya que:

1 + 3 = 4, y 4 es una potencia de 2.

¿Y si elegimos tres números?

Ahí la cosa se complica.

Supongamos que intentamos con 1, 3 y 5:

1 + 3 = 4 ✓

3 + 5 = 8 ✓

Hasta ahí bamos bien, pero:

1 + 5 = 6 ✗

El 6 no es una potencia de 2, así que el trío falla.

¿Existirá entonces algún conjunto de tres números que cumpla la condición para todas las sumas posibles?

La respuesta es sí, y una solución es:

–1, 3 y 5

Comprobemos:

–1 + 3 = 2

–1 + 5 = 4

3 + 5 = 8

Todas son potencias de 2. El desafío para tres números tiene solución.

Ahora bien, ¿qué pasa si intentamos con cuatro números?

Si tenemos cuatro números A, B, C y D, deben cumplirse seis sumas:

A + B, A + C, A + D,

B + C, B + D,

C + D.

Todas deberían ser potencias de 2.

Hasta el día de hoy no se ha encontrado ningún cuarteto que cumpla esta condición para las seis sumas, pero tampoco se ha demostrado que sea imposible. El problema sigue abierto.

Lo que sí se sabe es que, como máximo, se pueden lograr cuatro conexiones válidas entre cuatro números.

Un ejemplo es el conjunto:

–3, –1, 3 y 5

En este caso se obtienen las siguientes sumas que sí funcionan:

–1 + 3 = 2

–1 + 5 = 4

3 + 5 = 8

–3 + 5 = 2

Cuatro sumas correctas sobre seis posibles. Hasta ahora, nadie ha logrado superar ese récord.

Un desafío simple… que no lo es tanto

Este tipo de problemas muestra una de las caras más atractivas de la matemática: reglas simples, preguntas claras y resultados que siguen desafiando incluso a quienes más saben.

¿Existe un cuarteto perfecto? ¿O podemos demostrar que es imposible?

Por ahora, la pregunta sigue abierta. Y eso, en matemática, es una invitación irresistible a seguir jugando.