En el año 67 d.C., el historiador judeoromano Flavio Josefo, que por entonces luchaba con las fuerzas judías en Galilea, se encontraba rodeado por el ejército romano, junto con 40 soldados más. Sin posibilidad de escape, decidieron no entregarse vivos. Tomaron una decisión extrema: formar un círculo y eliminarse unos a otros, uno por uno, siguiendo un orden, hasta que quedara solo uno. Ese último debía quitarse la vida. Pero Josefo tenía otra idea: quería sobrevivir. Necesitaba quedar último, y para ello tendría que recurrir a la matemática.
Este episodio real dio origen a un problema fascinante: el Problema de Josefo.
Imaginá que hay n personas formando un círculo. Una de ellas comienza y elimina a la persona que tiene a su izquierda. Luego, el siguiente con vida hace lo mismo. Así, ronda tras ronda, van quedando menos, hasta que sobrevive solo una.
Tomemos 7 personas. Numerémoslas del 1 al 7. El proceso sería así:
- 1 elimina a 2
- 3 elimina a 4
- 5 elimina a 6
- 7 elimina a 1
- 3 elimina a 5
- 7 elimina a 3
Resultado: el 7 gana.
La pregunta es: ¿en qué lugar te conviene pararte para ser el que sobrevive?
La respuesta probablemente dependa de la cantidad de participantes. Como estamos en matemática, y nos encanta buscar patrones (porque eso es hacer matemática), entonces veamos los resultados en varios casos a ver si surge un patrón:
Lo primero que percibimos es que no hay ganadores en posiciones pares. Tiene lógica. De hecho, todos los números pares son eliminados en la primera ronda.
Por otro lado, los ganadores parecen avanzar en saltos de 2 en 2, hasta que se reinicia el ciclo. Algo está pasando.
La clave: las potencias de 2
Notamos que cuando la cantidad de personas es una potencia de 2 (2, 4, 8...), el sobreviviente siempre es el número 1. Y en los otros casos, hay un patrón: si n está entre dos potencias de 2, el sobreviviente va rotando.
¿Habrá posibilidad de saber cuándo ganar si la cantidad de participantes no equivale a una potencia de 2? Claro. Lo que tenés que hacer —y esto es superimportante— es ubicarte en un lugar en el que, cuando sea tu turno, la cantidad de participantes que quede en ese momento equivalga a una potencia de 2. Así estarías en un caso similar al de antes.
Por ejemplo: si fueran 9 participantes, la potencia más baja es 8, por lo que cuando te toque a vos, necesitarás que ya se haya eliminado a 1. Si tienen que eliminar a 1, significa que tiene que haber 2 participantes (el que elimina y el que es eliminado). Por lo tanto, tendrías que estar en la posición 3.
Cuando descubrimos el patrón, podemos sintetizarlo en una regla simple:
¿Qué hizo Josefo?
- Buscamos la mayor potencia de 2 menor o igual que n. Llamémosla L.
- Calculamos: r = n - L
- El sobreviviente está en la posición: 2 × r + 1
Volvamos al inicio: Josefo estaba entre 41 personas. ¿En qué posición tuvo que ubicarse para sobrevivir?
- La mayor potencia de 2 menor que 41 es 32
- r = 41 - 32 = 9
- Sobreviviente = 2 × 9 + 1 = 19
Josefo se colocó en la posición 19. Y vivió para contarlo.
Este problema, más allá de su historia dramática, es un excelente ejemplo para trabajar en el aula. Porque no se trata solo de aplicar una fórmula: se trata de hacer matemática de verdad. Observar, probar con casos simples, buscar regularidades, identificar patrones, y recién ahí generalizar.
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