Día Mundial de las Matemáticas: el teorema de los 4 colores y su sorprendente solución tras más de 100 años de debates

Para celebrar el Día Internacional de las Matemáticas, que se recuerda cada 14 de marzo, desde que en 2020 fue instituido por la UNESCO y la Unión Matemática Internacional, te propongo el siguiente reto: supongamos que tenés que pintar un mapa. No importa qué tan grande es o cuántas regiones tiene. Ni siquiera me importa su forma. Solo hay una regla, no podés pintar regiones limítrofes con un mismo color (teniendo en cuenta que no se consideran limítrofes regiones que compartan únicamente un punto). La pregunta es una: ¿cuál será el mínimo de colores que necesitarás para hacerlo?

A primera vista no parece una pregunta rebuscada, pero su respuesta no llegó sino hasta 126 años después. Y lo hizo de una manera sorprendente, llena de controversias. Al principio, parecía claro que tres colores no eran suficientes para pintar cualquier mapa, ya que existían múltiples contraejemplos que demostraban lo contrario. Pero, ¿y cuatro? ¿Cinco? La incertidumbre estaba en el aire.

La historia comenzó en 1852, cuando Francis Guthrie, al pintar un mapa de Inglaterra, se preguntó cuántos colores serían necesarios para cubrir todo el territorio sin que dos regiones adyacentes tuvieran el mismo color. Interesado en buscar la respuesta a la pregunta, le pidió a su hermano que le comunicara dicha inquietud a su profesor de matemáticas, Augustus de Morgan, quien al verse superado empezó a pedir ayuda a sus colegas más cercanos. La hipótesis era que solo bastaban cuatro colores. Sin embargo, por ahora no era más que eso, una conjetura.

Durante los siguientes 25 años, la hipótesis se difundió por la comunidad matemática, hasta que en 1879, Alfred Kempe creyó haber encontrado una demostración. Incluso fue nombrado miembro de la Sociedad Real por su trabajo. Sin embargo, la euforia duró poco: más tarde se descubrió que su demostración estaba llena de errores. Percy Heawood, verdugo de la demostración de Kempe, se pasó 60 años pintando mapitas para ver qué soluciones encontraba, pero no logró hallar un solo contraejemplo que mostrara que se necesitarían cinco colores. A pesar de ello, tampoco podía descartar que tal situación fuera posible. En Matemática, no basta con no encontrar un contraejemplo, ya que la ausencia de pruebas no implica una afirmación. Así, el mundo matemático seguía dividido, oscilando entre dos posibilidades: cuatro o cinco colores.

La solución llegó finalmente en 1976, cuando los matemáticos Kenneth Appel y Wolfgang Haken lograron demostrar que, efectivamente, cuatro colores son suficientes para pintar cualquier mapa. No obstante, esta historia, tan polémica de principio a fin, nos manifiesta en su cierre un dato que genera debate: y es que una parte de dicho teorema se demostró utilizando una computadora. Así es. Hubo dos matemáticos, Kenneth Appel y Wolfgang Haken, que produjeron a 1478 tipos de mapas posibles y, a través de un programa de ordenador, se encargaron de colorearlos. Este proceso fue largo y arduo, se necesitaron horas y horas de trabajo computacional para completar la tarea. De no haber sido por la ayuda de la máquina, el trabajo habría llevado miles de años de esfuerzo humano.

Esta demostración, la primera de su tipo, abrió un debate profundo en la comunidad matemática. Algunos argumentaron que no era una prueba rigurosa, sino más bien un experimento, ya que no se podía tener la certeza absoluta de lo que la computadora estaba haciendo. Además, el miedo a posibles errores de cálculo generó escepticismo. Sin embargo, con el paso del tiempo, el uso de computadoras en demostraciones matemáticas se fue expandiendo, ya que estas son mucho menos propensas a cometer errores que los seres humanos. A pesar de ello, siempre queda claro que el razonamiento sigue siendo responsabilidad de los matemáticos, mientras que la máquina solo “calcula”.

Este episodio no solo resolvió una antigua pregunta matemática, sino que también marcó un antes y un después en la forma en que se abordan los problemas complejos. Las computadoras no sustituyen el pensamiento humano, pero han demostrado ser una herramienta invaluable para realizar cálculos y experimentos que antes eran impensables. En este sentido, el teorema de los cuatro colores no solo cerró una polémica matemática, sino que también abrió nuevas puertas a la colaboración entre la matemática y la tecnología.

*Guido Rimati es divulgador y profesor de matemática, egresado del Instituto Superior Joaquín V. Gonzalez. Es autor del libro “El lado oculto de la matemática”