Cuadratura del círculo: el desafío matemático imposible que “resolvió” un argentino hace unos 150 años

El contador Elías O´Donnell estaba convencido de haber resuelto el problema clásico planteado por los griegos y hasta recibió una felicitación del presidente Domingo Sarmiento. Matemáticos revisitan esa historia y explican por qué una característica del número pi terminó con todos los sueños

Portada del libro de O´Donnell
Portada del libro de O´Donnell

Antes de que cuadratura del círculo se transformara en metáfora de asuntos difíciles o sinónimo de callejones sin salida, fue un problema matemático real formulado por los antiguos griegos que desveló a innumerables luminarias, académicos y entusiastas durante más de 2.000 años. La cuestión era simple: ¿sería posible construir un cuadrado que tenga la misma superficie de un círculo dado, usando solo regla y compás?

De Arquímedes y Ptolomeo en adelante, miles fracasaron en el intento. Pero hace 150 años (y unos meses), a fines de 1870, un contador y matemático aficionado argentino, Elías O’Donnell, creyó haber probado de forma definitiva que la respuesta era afirmativa y la publicó en un libro financiado por 124 suscriptores. Confianza no le faltaba. “Jamás me lanzaría a esta publicación sin la más íntima conciencia de que en este tratado está demostrada del modo más convincente y riguroso la resolución deseada exacta de la cuadratura del círculo. Y por grave que aparezca esa frase, ella será la verdad para todos los siglos de la posteridad”, avisó O´Donnell en la primera de las 164 páginas de la obra.

La posteridad no fue tan amable con O’Donnell y, en realidad, apenas doce años después, un matemático alemán desbarató todas las expectativas de resolución y demostró que la cuadratura del círculo era un desafío inexpugnable en los términos planteados por los griegos.

Sin embargo, matemáticos consultados por Infobae respetan el valor de ir detrás de una quimera. “Como la cuadratura del círculo, hubo otros dos problemas emblemáticos planteados por los griegos que también resultaron ser imposibles de resolver: la trisección de un ángulo (dividir un ángulo en tres partes iguales) y la duplicación de un cubo, siempre con regla y compás. Alguien podría haber dicho: ‘No se ocupen de esos problemas, que no tienen solución’. Pero hubiera sido una picardía. Se hizo tanta matemática atrás de esos problemas que fueron la base de la civilización occidental”, asegura Juan Carlos Pedraza, profesor titular de Matemática en el Ciclo Básico Común (CBC) de la Universidad de Buenos Aires.

Pedraza agrega: “No habría sido la primera vez que un aficionado resuelve problemas difíciles. O que tiene una idea feliz que logra avances maravillosos en algún campo”.

Deshacerse del “manto de imposibilidad”

Demostración gráfica de la cuadratura del circulo
Demostración gráfica de la cuadratura del circulo

Elías O’Donnell había nacido en Salta en 1819 y era uno de los nueve hijos de un profesor de Matemáticas gallego que vino para enseñar en la Cátedra de Matemáticas de la actual Universidad Nacional de Córdoba. Uno de sus primos hermanos era el general Lucio V. Mansilla, autor de Una excursión a los indios ranqueles.

Era consciente de que su demostración podía ser recibida con recelo o hasta con sorna, considerando su falta de credenciales científicas en comparación con la de “muchos distinguidos sabios que se ocuparon de esta tarea sin llenar su deseo de resolver”.

Pero trató de persuadir a los escépticos. “¿No será posible que la constancia perseverante y el genio contraído a un fin pueda alcanzar algo que otros no alcanzaron? ¿No podrá jamás acontecer que coincida la meditación y combinación de las ideas con el progreso de los principios? Y para los que tengan fe ¿no podrán acaso creer que el espíritu de la divinidad lanza su chispa luminosa por doquier y cuando quiere?”, preguntó.

Otra dificultad que O’Donnell reconocía enfrentar era la percepción bastante extendida por esa época de que el problema era irresoluble. Hacia 1855, por ejemplo, el matemático y lógico Charles Dodgson, conocido por su seudónimo de Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas, había escrito en sus diarios su frustración por no lograr sacar de su error a un par de “cuadradores de círculos”.

Pablo Amster
Pablo Amster

Para hacer frente al “resistente escollo del manto de imposibilidad”, como lo bautizó, O´Donnell pidió a los lectores abrir la mente, desprenderse de los prejuicios y “ceder ante la luz sagrada y poderosa de la evidencia razonada”. Seguir su secuencia de argumentos escalonados, su cadena deductiva “tan simple y accesible para llegar a una verdad con vehemencia investigada”, que le parecía curioso que hubiera podido permanecer oculta tanto tiempo ante ojos más doctos.

El presidente argentino de entonces, Domingo Faustino Sarmiento, recibió un anticipo de la demostración gráfica del problema y respondió a O’Donnell con una carta elogiosa, con fecha 6 de mayo de 1869, que luego se reprodujo en el libro de 1870. Aunque admitió que no estaba preparado para analizar técnicamente “una materia que ha burlado por tantos siglos los esfuerzos de los matemáticos”, y se propuso interceder con un astrónomo de la Universidad de Chicago para que revisara el razonamiento, Sarmiento le dijo que el solo hecho de acometer su solución le infundía respeto. “Es fácil medir las fuerzas del atleta por el peso que se propone remover. No es culpa suya si la mole de roca es superior a todo esfuerzo humano”, tranquilizó a O´Donnell.

La mole de roca de la cuadratura del círculo, en realidad, era la cifra que relaciona el diámetro con la longitud de la circunferencia del círculo: el famoso y esquivo número “pi” (π). Lo explica Pedraza: “Como la superficie de un círculo resulta de multiplicar pi por el radio al cuadrado (r²), si el radio fuera 1, la superficie sería pi (porque 1 al cuadrado es igual a 1). Por lo tanto, un cuadrado de superficie equivalente debería tener lados que midan la raíz cuadrada de pi (superficie de un cuadrado = lados al cuadrado). Y todo el problema de la cuadratura del círculo se reduce a construir pi con regla y compás”.

La trascendencia de pi

Como muchos recuerdan de la escuela, pi es un número irracional cuya expansión decimal, en palabras del matemático y escritor David Berlinski, “continúa sin parar, tan carente de forma como el viento”: 3,1415926535897…. Hasta el infinito y más allá. En 2019, una empleada japonesa de Google calculó 31,4 billones de dígitos de pi y aun así seguía tan lejos del “final” como al principio.

Juan Carlos Pedraza
Juan Carlos Pedraza

Pero eso no sería per se un problema insalvable para construirlo, esto es, representarlo mediante regla y compás. Sin ir más lejos, se puede hacer eso con la raíz cuadrada de 2 o con el intrigante número áureo, ambos números irracionales infinitos, sin patrones periódicos. La verdadera imposibilidad, lo que vuelve a pi la mole de roca de Sarmiento, lo que impide domarlo con dos simples instrumentos de la cartuchera escolar, es que no se trata de un número “algebraico”.

En términos matemáticos: pi no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros, como podría ser 3X² + 8X + 3= 0, 5X3 -37=0 o cualquier otra imaginable. Pueden probarse miles o millones de ecuaciones de ese tipo: cuando se despejan o “resuelven” las X, nunca darán pi.

Esa categoría de números se llama “trascendentes”. El físico español Alberto Aparici definió esos números como dragones que se esconden en el océano de los dígitos, pero que son más abundantes que el agua. “El infinito de los números trascendentes es más grande que el infinito de los algebraicos”, resume a Infobae el matemático Pablo Amster, investigador del CONICET en la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires y autor del libro Del cero al infinito. Un recorrido por el universo matemático (Fondo de Cultura Económica, 2020):

Pedraza dice que, si todos los números estuvieran en una bolsa y uno metiera la mano para sacar uno, la probabilidad de que fuera uno trascendente es virtualmente 100%... aun cuando quedara un mínimo resquicio de chance de extraer uno algebraico.

Pues bien, desde 1801 se sabía por el prodigio matemático alemán Carl Gauss que, si pi era trascendente, la cuadratura del círculo no podría ser resuelta. Y ese carácter trascendente de pi es lo que demostró en 1882 su compatriota, Carl Louis Ferdinand von Lindemann, lo que fue “un balde de agua fría” para los últimos optimistas que buscaban hallar una solución positiva al desafío milenario, según recuerda Pedraza en un editorial de la revista de educación de la Unión Matemática Argentina.

Para los matemáticos, en cambio, fue motivo de celebración. “Probar la inexistencia es mucho más difícil que probar la existencia de algo. Una cosa es que a lo largo de siglos no se haya podido encontrar una demostración, otra es probar que no existe esa posible demostración”, sentencia Amster. Y entender por qué.

La cuadratura después del imposible

Una resolución moderna de la cuadratura del círculo en un minuto
Una resolución moderna de la cuadratura del círculo en un minuto

Se ignora si O´Donnell se enteró de la demostración de Lindemann. Había escrito su tratado “para someterlo al fallo de los hombres de la ciencia y las academias ilustradas”, pero le dieron la espalda. Por otra parte, hacia 1876 ya estaba más ocupado con el invento de un dispositivo para volar, una máquina aerostática cuyos principios presentó en el Departamento de Ciencias Exactas de la Universidad de Buenos Aires. Falleció en 1893, víctima de una neumonía. Tenía 73 años.

Sin dudas, su resolución de la curvatura del círculo tenía algún error fatal. Al igual que otros “cuadradores”, se basó en un método de aproximaciones sucesivas, que incluía la inscripción de polígonos dentro de circunferencias. O’Donnell no resolvió la cuadratura del círculo, sino una aproximación a la misma sin mayor interés matemático, opina hoy Pedraza.

Por otra parte, el balde de agua fría de Lindemann no desterró completamente el problema. A fines del siglo XIX, un médico estadounidense patentó un método para la cuadratura del círculo, basado en un valor de pi de 3,2, que hasta cedió al estado de Indiana como una contribución a la educación de los jóvenes. Durante el siglo XX, muchos matemáticos prestigiosos ensayaron métodos para lograr aproximaciones más precisas a la cuadratura del círculo, incluyendo el genio indio Srinivasa Ramanujan (1887-1920), protagonista de la novela El contable hindú de David Leavitt y de su adaptación al cine, El hombre que conocía el infinito.

Incluso en fechas tan recientes como 2019, un profesor de Matemáticas de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, Estados Unidos, publicó en ArXiv un método para cuadrar el círculo con regla y compás “en un minuto”, con un margen de error de solo 68 en 1.000.000.000.000. Pero todos saben que la solución perfecta que soñaba O´Donnell nunca será.

Aunque haya estado equivocado, aunque haya recibido burlas y sarcasmos por su osadía, el humilde contador sintió alguna vez que coqueteaba con la trascendencia. La educadora argentina Juana Manso, quien conoció a O’Donnell desde que eran niños, escribió en la Revista Argentina: “Si es una locura (resolver la cuadratura del círculo), es innegable que Arquímedes, Newton, Laplace y Pascal fueron locos como O’Donnell. Y si es una quimera, también es innegable que aquellas cabezas privilegiadas la concibieron”.

Amster recuerda que una vez cuando compró un libro usado de historia de la matemática que estaba todo escrito en los márgenes por un aficionado uruguayo a los números. “Fue lo más interesante del libro”, evoca. El hombre había acometido ahí el problema clásico de la trisección del ángulo, que a esa altura ya se había probado imposible, y creía haberlo resuelto. Entonces agregó con bolígrafo su nombre al de los próceres de la matemática que aparecían en el índice y también dejó una reflexión poética: comparó al problema de los griegos con una Penélope que esperó durante 20 siglos hasta que él lo resolviera. No sería extraño que O’Donnell haya sentido maravillosamente lo mismo.

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