Los dados que desafían la intuición matemática

Si algo de matemática nos quedó grabado de la primaria, es una regla básica: si A es mayor que B, y B es mayor que C, entonces A debería ser mayor que C. Esta idea tan obvia se llama propiedad transitiva.

Sin embargo, en el mundo de la probabilidad, esa lógica puede romperse. Y para demostrarlo vamos a ver un ejemplo a continuación:

Imaginemos cuatro dados “especiales”, cada uno con seis caras, pero con números repetidos:

• Dado A: cuatro caras con el número 4 y dos con 0
• Dado B: seis caras con 3
• Dado C: cuatro caras con 2 y dos con 6
• Dado D: tres caras con 5 y tres con 1

El juego es simple: se lanzan dos dados y gana el que obtenga el número más alto.

Sin embargo, el resultado es desconcertante:

• A le ganaría a B en 2 de cada 3 tiradas (≈ 66,7 %)
• B le ganaría a C en 2 de cada 3 tiradas
• C le ganaría a D en 2 de cada 3 tiradas
• D le ganaría a A en 2 de cada 3 tiradas

No hay error: cada comparación es correcta y repetible. Pero el conjunto forma un círculo imposible: A vence a B, B vence a C, C vence a D, y D vence a A.

¿Qué pasó con la propiedad transitiva?

En la aritmética, la propiedad transitiva funciona sin fallas.

Si 10 es mayor que 5 y 5 es mayor que 2, entonces 10 es mayor que 2. No hay discusión.

Pero en este caso no estamos comparando números fijos, sino variables aleatorias. Cada dado tiene una distribución distinta de resultados posibles, y lo que importa no es el valor promedio, sino la probabilidad de ganar en un enfrentamiento directo.

En este contexto, esa relación no es transitiva.

Este ejemplo fue propuesto por el estadístico estadounidense Bradley Efron, uno de los referentes de la estadística moderna, para mostrar que algunas comparaciones probabilísticas desafían la intuición lógica.

Los llamados dados no transitivos de Efron se utilizan hoy en clases de matemática, estadística y teoría de juegos para ilustrar cómo el azar puede producir resultados coherentes, pero contraintuitivos.

*Guido Rimati es profesor de matemática egresado del Instituto Superior Joaquín V. Gonzalez, autor del libro “El lado oculto de la matemática” y creador del canal de divulgación matemática “Recalculando”