¿Cuántos minutos tiene febrero? Un juego de multiplicación

Si alguien te preguntara cuántos minutos tiene febrero (en un año que no sea bisiesto), lo más probable es que calcules rápidamente:

28 días x 24 horas x 60 minutos = 40.320 minutos.

Pero si miramos de cerca esta cuenta, aparece un pequeño secreto matemático que convierte un cálculo cotidiano en un juego de ingenio.

Empezamos con la multiplicación estándar:

28 x 24x60

Como el 1 es un elemento neutro en la multiplicación, tranquilamente podríamos expresarla como:

28 x 24x 60 x 1

Si reescribimos cada número como producto de algunos de sus factores, obtenemos:

28 = 7 x 4

24 = 8 x 3

60 = 6 x 5 x 2

Ahora reemplazamos en la multiplicación:

(7 x4) x (8 x 3) x (6 x 5 x 2) x 1

Y reordenamos todos los factores, porque multiplicar es conmutativo y asociativo:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Un pequeño juego de multiplicaciones convierte así un dato cotidiano en un ejercicio de ingenio mental.

El resultado final sigue siendo 40.320 minutos, pero ahora aparece ante nosotros con una forma completamente distinta: es exactamente 8 factorial (8!).

¿Y qué significa 8!? El signo de admiración no expresa sorpresa: en matemática indica “factorial”. Se define como el producto de todos los números enteros positivos desde ese número hasta el 1. Es decir:

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

El factorial es una operación fundamental en la combinatoria: 8! representa la cantidad de maneras distintas en que pueden ordenarse ocho elementos diferentes.

El juego de las sillas

Para verlo en un caso más simple, supongamos que queremos sentar a tres personas en tres sillas.

Podemos ir probando caso por caso: primero Ana, luego Bruno, luego Carla; después Ana, Carla y Bruno; y así hasta agotar todas las posibilidades. Pero ese método rápidamente se vuelve tedioso a medida que aumenta la cantidad de personas. Conviene pensarlo de otra manera, más estructurada.

Para la primera silla hay 3 opciones posibles. Una vez ocupada, quedan 2 personas para la segunda silla. Finalmente, solo queda 1 opción para la tercera. En total:

3 × 2 × 1 = 6 formas distintas.

Ese mismo resultado se escribe como 3!, es decir, 3 factorial.

Si repetimos el razonamiento con cuatro personas, el conteo es similar: 4 opciones para la primera silla, 3 para la segunda, 2 para la tercera y 1 para la última. En total:

4 × 3 × 2 × 1 = 24 formas, lo que equivale a 4!

Con cinco personas ocurre lo mismo: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 formas posibles.

Pero lo más interesante aparece cuando seguimos avanzando. Con seis personas ya tenemos 720 formas; con siete, 5.040; con ocho, 40.320 (el número de minutos de febrero); con nueve, 362.880; y con diez personas el número asciende a:

10! = 3.628.800

En apenas unos pasos pasamos de 6 maneras posibles a más de tres millones y medio. Esa es la potencia del crecimiento factorial: no aumenta sumando, sino multiplicando cada vez por un número mayor.

Sin dudas, una de las funciones más vertiginosas de la matemática.