¿En qué se parecen una leyenda egipcia y un bar del siglo XXI?: dos maneras de entender la misma matemática

Nada mejor que empezar con un momento distendido. Nos vamos a un bar a tomar algo. Pero no a cualquier bar. A uno que está bárbaro. Es tan bueno que van muchas personas. Podríamos decir infinitas personas. De hecho, la fila para ingresar parece no terminar nunca. Esperemos poder entrar (algún día).

Eso sí, la publicidad dice que la limonada que venden tiene un sabor muy fuerte. Así que el primer cliente que entra pide solo medio vaso. Para probar.

El cliente que le sigue, al ver lo fuerte que estaba la limonada, decide pedir la mitad de lo que pidió el primero. Es decir, un cuarto de limonada. El siguiente repite el proceso y pide la mitad de lo que pidió el anterior. Un octavo de limonada. Y así sucesivamente van entrando personas que piden la mitad de lo que tomó el que estaba antes en la fila.

El dueño del bar está muy preocupado. Ve esa fila interminable de personas sedientas, ansiosas por consumir. Y se queda pensando si le va a alcanzar la cantidad de limonada para darle de tomar a los infinitos comensales.

Pero el bartender, en cambio, está retranquilo. Él estudia matemática en su tiempo libre (como toda persona de bien) y sabe que, a este ritmo en donde cada uno pide la mitad de lo que pidió el anterior, no solo que llegan para abastecer a todos, sino que además les va a sobrar mucha mercadería.

No van a necesitar 1.000.000 de botellas ni 100.000 botellas, ni 1.000. Ni 10. Con 1 sola botella de limonada les dan de tomar a todos.

Es muy probable que en este preciso momento pienses que estoy delirando. ¿Qué es este disparate que estoy diciendo? ¿Cómo 1 va a alcanzar para infinitos? ¿Estamos todos locos?

Bueno, como siempre digo, analicemos esto paso a paso, con nuestra lupa matemática. Este tema que estamos viendo se lo conoce como “Series Geométricas”. Consiste en la suma de un número infinito de términos en donde cada uno se obtiene multiplicando al anterior por una constante. En este caso, la constante sería ½ (porque cada cliente pide “la mitad” de lo que pidió el otro). Así tenemos a los términos que vamos a sumar que son: ½, ¼, 1/8, 1/16…

Lo más loco, es que a medida que vamos sumando los términos, al buscar el resultado notamos que esta serie se acerca más y más al 1. Esto me genera un poco de dolor de cabeza. ¿Cómo una suma de infinitos términos va a dar como resultado un número finito?

Si, aunque no parezca, la suma de infinitos términos puede ser finita. Muchas veces la matemática desafía tu intuición. Algo que vos creías que no podía pasar, pasa. Estoy casi seguro que mi resultado tendría que ser este, pero resultó ser aquel.

También lo podemos visualizar geométricamente con un cuadrado. Podemos ir sumando las diversas superficies en la que cada una es la mitad de la anterior para tender a cubrir la superficie total de la figura.

Este concepto de Serie Geométrica no es nuevo. De hecho, había empezado a asomarse hace miles de años en el antiguo Egipto, con la leyenda del Ojo de Horus.

Osiris era un antiguo Dios que fue asesinado por su hermano, Seth, quien sentía envidia de su poder y popularidad. Horus, que era el hijo de Osiris intenta vengar a su padre, enfrentándose a Seth en una lucha salvaje (una historia un tanto parecida al Rey León)

En un momento, Seth toma el ojo a Horus, lo destroza y desparrama todos los pedacitos. Parecía que el final era feliz para el villano de esta historia. Sin embargo, los Dioses bendijeron a Horus, y lograron recomponer su ojo, dándole así la oportunidad de imponerse en la pelea. Finalmente, Horus venció a Seth y reclamó el trono de Egipto, consolidando su lugar en la mitología como el protector del faraón y símbolo del orden y la justicia.

Hay jeroglíficos en los que se puede apreciar al famoso ojo de Horus. Allí, cada parte está representada en una fracción diferente y cada fracción es la mitad de la anterior. Unir el ojo equivaldría a sumar todas esas fracciones. Un caso muy parecido al de las limonadas.

Sin embargo, en este caso hay una diferencia: estamos trabajando con una cantidad finita de partes, ya que en el antiguo Egipto el concepto de “infinito” no estaba del todo desarrollado.

Dichas partes van desde ½ hasta 1/64. La suma de todas estas partes sería:

½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64, cuyo resultado es 63/64.

Conceptos matemáticos que hoy nos resultan cotidianos han estado presentes de alguna forma en civilizaciones antiguas. Las matemáticas están en todas partes, conectando lo cotidiano con lo abstracto, lo antiguo con lo moderno. Tal vez la próxima vez que mires un símbolo egipcio o hagas una fila para entrar a un bar, recuerdes las formas inesperadas en las que la matemática nos rodea.

*Guido Rimati es divulgador y profesor de matemática, egresado del Instituto Superior Joaquín V. Gonzalez. Es autor del libro “El lado oculto de la matemática”