Cómo es el misterio matemático de las habitaciones imposibles de iluminar que aún sigue sin resolverse

En los años ‘50, el matemático Ernst Straus formuló una intrigante pregunta: supongamos que colocamos una vela en una habitación cuyas paredes están completamente cubiertas de espejos. La luz que emite la vela se refleja una y otra vez en las superficies, viajando en distintas direcciones.

La cuestión es, ¿podrá la vela iluminar toda la habitación? O, dicho de otro modo, ¿existirán puntos que permanezcan en penumbra, sin recibir nunca un rayo de luz reflejado?

Esto, en otras palabras, busca analizar si desde cada punto hay un camino a todos los demás mediante reflexiones repetidas.

Nuestra intuición nos haría pensar que, en una habitación con paredes reflectantes, la luz debería alcanzar cada rincón sin excepción. Sin embargo, un análisis más detallado demuestra que la respuesta depende de la geometría de la habitación. Si la habitación es convexa, es decir, si cualquier par de puntos dentro de ella puede conectarse mediante una línea recta sin salir de sus límites, entonces la luz podrá alcanzar todas las zonas. Ejemplos de figuras convexas son triángulos, cuadrados y rectángulos.

Pero, ¿qué ocurre si la habitación no es convexa? Es decir, si tiene una forma tal que existan pares de puntos que no puedan unirse mediante una línea recta sin que esta cruce fuera de la figura. En estos casos, la respuesta se complica.

En 1958, el renombrado matemático Roger Penrose (en ese entonces un joven Roger Penrose) tomó las propiedades de una elipse para diseñar una habitación que siempre presentara zonas oscuras. Utilizando dos medias elipses unidas por figuras en forma de “hongo” en los costados, ciertas zonas quedaban irremediablemente en sombra cuando la habitación era iluminada por una única fuente de luz.

El interés por el problema llevó a descubrimientos posteriores. En 1995, el matemático George Tokarsky encontró un caso en el que un polígono de 26 lados presentaba puntos que nunca llegaban a ser iluminados, sin importar cuántas veces rebotara la luz. Apenas dos años más tarde, en 1997, David Castro logró reducir la cantidad de lados a 24, obteniendo una habitación con puntos oscuros permanentes.

A diferencia del caso de Penrose, estos ejemplos no muestran zonas enteras en sombra, sino puntos específicos dentro de la habitación que nunca son alcanzados por la luz, sin importar la cantidad de reflexiones.

¿En qué punto se encuentra el problema en la actualidad? Los avances recientes han demostrado que, si cada ángulo de los polígonos involucrados tiene un valor racional (es decir, valor que se pueden expresar como cociente entre dos números enteros), entonces no pueden existir zonas completamente oscuras. En el peor de los casos, podría haber puntos oscuros, pero nunca regiones enteras sin iluminación.

El problema de la iluminación sigue siendo un fascinante campo de estudio dentro de la matemática, la óptica y la geometría. Presenta una gran semejanza con el billar. Los rayos de luz reflejándose en las distintas paredes son similares a la bola rebotando en cada una de las bandas (en ambos casos, los rebotes continúan indefinidamente a menos que lleguen a una esquina). Es un nuevo caso en el que la intuición se ve desafiada por sorprendentes resultados teóricos. Este tipo de problemas nos recuerdan que las matemáticas no solo explican el mundo que nos rodea, sino que también nos invitan a cuestionarlo y descubrir nuevas perspectivas sobre fenómenos aparentemente simples.