¿Por qué casi todos los números tienen un 7? La explicación matemática

¿Viste cuando te cuentan algo que parece mentira pero después no podés dejar de pensarlo? Bueno, esto es uno de esos casos: casi todos los números naturales contienen un 7. ¿Cómo puede ser? Si hay diez dígitos posibles (del 0 al 9), ¿por qué justo el 7 aparecería más que los demás?

Spoiler: no es que el 7 aparezca más veces que los otros dígitos, sino que, a medida que los números crecen, la probabilidad de que un número no tenga un 7 en ninguno de sus dígitos baja cada vez más. Y termina siendo tan baja que, en la práctica, casi todos los números tienen al menos un 7.

Empezamos de a poco

Del 1 al 10: solo el número 7 tiene un 7. O sea, 1 de 10. El 90% de los números en ese rango no tiene un 7. Hasta ahí, bien.

Ahora subamos un poco. ¿Cuántos de los primeros 100 números contienen al dígito 7? Pensemos: el 7, el 17, el 27… así hasta el 97. Son 10. Pero no te olvides de los setenta y pico: 70, 71, 72… hasta el 79. Son otros 10 más. En total: 19 números entre 1 y 100 tienen un 7. El 19%. O sea, el 81% no lo tiene.

¿Y entre los primeros 1000 números? La cosa se pone más interesante: 271 de ellos tienen al menos un 7. Eso es un 27,1%. En otras palabras, casi 3 de cada 10 números ya tienen un 7. Y va en aumento.

Mirá esta progresión:

• Primeros 10.000 números: 3439 tienen un 7 (34,39%)
• Primeros 100.000: 40.951 tienen un 7 (40,95%)
• Primeros 1.000.000: más del 50% ya tienen al menos un 7

¿Y si seguimos?

A medida que los números tienen más dígitos, la chance de que ninguno de esos dígitos sea un 7 se va haciendo cada vez más chiquita. Pensemos en esto matemáticamente:

• En cada “casillero” (cada dígito), hay 10 posibilidades (0 al 9).
• Si queremos que no haya un 7, en cada lugar solo puede haber 9 opciones (todo menos el 7).
• Entonces, la probabilidad de que un número de dos dígitos no tenga un 7 es:(9/10) × (9/10) = (9/10)² = 81%
• Para un número de 3 dígitos: (9/10)³ = 72,9%
• Para uno de 4 dígitos: (9/10)^4 = 65,61%

Y así sucesivamente. ¿Sabés cuánto es (9/10)^44? Aproximadamente 0,0095, o sea menos del 1%. Para cuando un número tiene 44 dígitos (sí, ya estamos hablando de números realmente grandes), es más probable que tenga un 7 a que no lo tenga.

¿Por qué esto es tan loco?

Porque va en contra de nuestra intuición. Cuando pensamos en los números, los imaginamos distribuidos “parejo”, sin favoritismos. Pero cuando analizamos millones y millones de números, descubrimos que los que no tienen un 7 son los raros, los distintos, los que se desvían de la norma.

Y por si pensabas que el 7 tenía poderes mágicos, lamento decepcionarte. Esto no es una cualidad única del 7. Si hacés el mismo cálculo con el 3, con el 5 o con cualquier otro dígito, vas a ver que pasa exactamente lo mismo. No es que el 7 sea especial: es que los números grandes tienen tantos dígitos que es muy difícil que no aparezca alguno de los diez dígitos posibles.