Fórmula simple para calcular tasas efectivas de interés

Argentina es un país con una larga historia inflacionaria. Sus habitantes están acostumbrados a hablar de tasas de inflación y del interés (efectivo anual) cuando hace un plazo fijo.

El interés compuesto es utilizado normalmente para evaluar el rendimiento de una inversión en un plazo fijo, que muy a menudo son renovables cada 30 días. Un dato que normalmente manejan los inversores es una tasa anual efectiva que resulta de aplicar el interés compuesto al cabo de 12 meses.

Para una tasa mensual X, el interés compuesto Y al cabo de 12 meses (de 30 días), resulta de aplicar la fórmula:

Y/100 = (1 + X/100)12 -- 1

Esta fórmula es sencilla de calcular, cuando se dispone de una calculadora financiera, pero en cambio no resulta práctica con una calculadora convencional o mediante un cálculo manual.

Hay otra forma mucho más simple que permite calcular el interés compuesto anual Y con muy bajo error, en un amplio rango de la tasa de interés mensual X. Dicha ecuación no responde a ningún cálculo o deducción matemática. Sin embargo, su extremada sencillez la convierte en una curiosidad numérica que seguramente sorprenderá a más de uno. La misma es:

Y = X (11 + X)

En la siguiente tabla se muestran los valores calculados por ambas fórmulas, así como la diferencia porcentual de los valores de Y para un amplio rango de X:

Se observan las siguientes curiosidades:

1) Entre X = 3 y X = 9 la diferencia porcentual entre ambos valores de Y es casi siempre menor al uno por ciento. La fórmula aproximada Y = X (11 + X) estima con más de un 99% de precisión a la tasa anual efectiva de interés (o de inflación anual acumulada) en dicho rango.

2) Ambas fórmulas dan valores coincidentes de Y para valores de X cercanos a 4 y 8 por ciento mensual. Si se representaran en un gráfico ambas fórmulas darían curvas que se cruzan dos veces en el intervalo entre X = 3 y X = 9.

3) La diferencia absoluta (no la porcentual) de los valores de Y, calculados según las dos fórmulas, coinciden prácticamente para X = 6 y X = 7 con diferencias de -0,78 (redondeado sería -0,8). Se trata de una increíble casualidad.

4) Una regla (nemotécnica) sencilla, que no requiere un gran esfuerzo de memoria, es la que se indica seguidamente. Para tasas mensuales (X) de 4%, 5% y 6% (muy comunes en Argentina tanto para la tasa de interés como la inflación mensual) los valores anuales redondeados de Y son números muy sencillos y fáciles de retener. Son ellos respectivamente 60%, 80% y 100% (en verdad 101,2%).

En conclusión, la formula X (11+X) permite rápida y sencillamente calcular la tasa efectiva anual de interés y la de la inflación, en base a una tasa promedio mensual.

Nota: El hecho de que un año tenga 5 o 6 días más que el producto de 30 (días) por 12 (meses) casi no afecta la utilidad de la fórmula simple.

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