Las simetrías ocultas de la tabla de multiplicar

Hace unos meses, buscando material para mi último libro (Los secretos de la multiplicación, Catarata, 2019), encontré un interesante artículo del profesor de francés argelino Zoheir Barka, que es un apasionado de las matemáticas, titulado Las simetrías ocultas de la tabla de multiplicar. En este artículo vamos a iniciar un pequeño paseo por algunas de ellas.

La idea de Zoheir Barka es crear diferentes patrones geométricos planos de color sobre la tabla de multiplicar, de tamaños variables, asociando colores a los múltiplos de algunos números. Por lo tanto, el punto de partida es una tabla de multiplicar cuadrada o rectangular, con un cierto número de filas y columnas, en función de las necesidades estéticas del patrón que se quiere realizar.

La siguiente imagen es una tabla de multiplicar normal, con los productos de los diez primeros números, del 1 al 10, a la que se ha añadido además los productos por cero, es decir, todo ceros, por lo que resulta una retícula cuadrada con 11 filas y 11 columnas.

Una vez que disponemos de la tabla de multiplicar, del tamaño que se considere oportuno, se trata de colorear cada celda en función de si el número de la celda es, o no, múltiplo de un número o de alguno de los números seleccionados.

El caso más sencillo sería dar color a los múltiplos de un número, por ejemplo el 2, y dejar sin color, o utilizar otro distinto, a los que no son múltiplos de 2. Obtenemos así el siguiente patrón, que es muy sencillo.

Es evidente que, si tomamos los múltiplos de un número primo como el 2, pero también el 3, el 5 y el 7, los patrones serán sencillos enrejados, como el anterior, pero con zonas cuadradas blancas, o sin colorear, más grandes aún. Para el 2 las zonas blancas eran sencillas celdas, para el 3 serían cuadrados de 2 x 2 celdas, para el 5 cuadrados de 4 x 4 celdas, y así para el resto de los números primos.

Es decir, se crea un patrón simétrico en el que se están repitiendo, en horizontal y vertical, bloques básicos de tamaño igual al número cuyos múltiplos se están considerando. A continuación, vemos los bloques básicos para 2, 3 y 5.

Pero si consideramos los múltiplos de números no primos, como el número 4, cuyo divisor no trivial es 2 (4 = 2 x 2), o el número 6, cuyos divisores no triviales son el 2 y el 3 (6 = 2 x 3), la estructura se complica un poco más, como vemos a continuación.

Por motivos estéticos podríamos llamar la "zona básica" de cada ejemplo a la cuadrícula de tamaño (n + 1) x (n + 1) si estamos considerando los múltiplos del número n, que consiste en añadir al bloque básico la siguientes fila y columna, cuyas celdas tienen color (ya que son los primeros múltiplos del número n) y que cierran los bloques básicos.

Así las zonas básicas de los casos en los que se consideran los múltiplos de los números 4, 6 y 10, que son producto de dos primos (iguales o distintos), son las siguientes.

Y si el número considerado es múltiplo de más números primos (iguales o distintos), como el 12, que es igual al producto 2 x 2 x 3, se complica un poco más el entramado. Veámoslo.

Otro ejemplo es el siguiente, en el que se muestra la zona básica del número 30, que es igual al producto 2 x 3 x 5.

Como vemos la estructura se enriquece en función de la cantidad de números primos que generan el número cuyos múltiplos se están coloreando.

El siguiente paso natural, que es el que considera también Zoheir Barka en su artículo, es considerar los múltiplos de dos o más números, utilizando tantos colores como números. Empecemos con los múltiplos de 2 y de 3, los números más pequeños posibles para los que esto tiene sentido, y coloreemos los múltiplos de 2 en verde y los múltiplos de 3 en azul. Aquí se nos plantea una duda, qué hacer con los números que son múltiplos de los dos, luego múltiplos de 6. Tendríamos tres opciones, que se mantenga el color del múltiplo mayor, que en este caso es el 3 (azul),

que se mantenga el color del múltiplo menor, que en este ejemplo es el 2 (verde),

o incluso, utilizar otro color para los múltiplos de 6 = 2 x 3, que en la siguiente imagen utilizamos el amarillo.

Veamos ahora un ejemplo en el que uno de los dos números no es primo, por ejemplo, 4 = 2 x 2, pero los números primos que lo componen, 2 (dos veces), no son el otro número primo, 3. En este caso, las zonas básicas que se repiten en las tres opciones son las de las siguientes imágenes. En cada uno de los casos hemos añadido a la versión con números, una sin números, que nos permite apreciar mejor el patrón geométrico que se genera.

El siguiente es un ejemplo de dos números que comparten un número primo, como los números 6 y 9, para los que el 3 es divisor de ambos. Mostramos las zonas básicas en los casos en los que prima, en el primero, el color del número 9 y, en el segundo, el color del número 6.

Para terminar, tomamos un ejemplo en el que uno de los números es múltiplo del otro. Por ejemplo, los números 6 y 12.

Para generar los anteriores patrones simétricos se han utilizado números pequeños. Con números más grandes, que posean más números primos en su descomposición en factores, las estructuras serán más ricas, aunque también con bloques básicos más grandes y se necesitará mucho más espacio para representarlos.

Por ejemplo, para los números 10 y 12 el bloque básico es una cuadrícula de tamaño 60 x 60, ya que 60 es el mínimo común múltiplo de 10 y 12. La siguiente vuelta de tuerca sería utilizar más números y colores.

Las simetrías ocultas de la tabla de multiplicar constituyen una actividad lúdica y didáctica que enlaza las matemáticas con el arte. Más aún, constituyen una interesante herramienta de creación artística.

Por Raúl Ibáñez Torres, Universidad del País Vasco / Euskal Herriko Unibertsitatea

Una versión de este artículo fue publicada originalmente en el Cuaderno de Cultura Científica, una publicación de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU.

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