¿Cuál sería la probabilidad de ganar el Gordo de Navidad con una bola trucada?

Seguro que sabe que el último sorteo de la lotería de Navidad ha tenido una buena dosis de polémica porque un operario introdujo en el bombo de los números una bola extraviada. Tras varias denuncias, el caso ha llegado incluso a la fiscalía de la Audiencia Nacional, que ha pedido al juez encargado que solicite información a Loterías y Apuestas del Estado.

Hace unos años ya expliqué con ejemplos sencillos la probabilidad de que un número gane el Gordo en un sorteo limpio, que es 1 entre 100.000, y quizá ahora se esté preguntando: ¿cómo cambiaría esa probabilidad si hubiera una bola trucada?

Para empezar, es imposible saberlo sin conocer sus características, como la diferencia de tamaño o de peso. Y tampoco sería fácil conociendo esas diferencias, pues la física involucrada en el sorteo es suficientemente compleja. Así que vamos a analizar qué pasaría si una de las 100.000 bolas estuviera trucada y eso le garantizara aparecer entre las premiadas, de manera aleatoria.

Como sabe, en el sorteo del Gordo hay un bombo grande con esas 100.000 bolas, una por cada número, y otro pequeño con una bola por cada premio, 1.807 según los datos de Loterías y Apuestas del Estado. Así, aunque el número de una bola trucada saliera seguro del bombo grande, eso no le garantizaría ganar el Gordo, porque tendría que coincidir que en el bombo pequeño le saliera la bola de ese premio.

Pero sí lo tendría más fácil. Si la bola trucada saliera seguro del bombo grande, se llevaría el Gordo si de las 1.807 bolas del bombo pequeño le coincidiera la del Gordo. Es decir, la probabilidad sería 1/1.807=0.00055… en lugar de 1/100.000=0.00001, así que ¡la bola trucada tendría una probabilidad 55 veces mayor de llevarse el Gordo!

Pongamos un ejemplo más visual: Si en un sorteo limpio la probabilidad de que un número gane el Gordo es como una gota en una garrafa de 5 litros, para un número trucado que saliera seguro la probabilidad sería, aproximadamente, como una gota en un bote de plástico de 100 mililitros, de los que se usan para llevar líquidos en los aviones.

Como acaba de ver, el número de la bola trucada aumentaría considerablemente sus opciones de ganar el Gordo, pero ¿qué pasaría con el resto de los números? Parece claro que perderían opciones, pero vamos a ver hasta qué punto.

Si nos fijamos en otro número, por un lado su bola tendría que salir del bombo grande y, como salen 1.807 bolas (tantas como hay en el bombo pequeño) pero uno de esos puestos ya está ocupado por la bola trucada, le quedarían 1.806 posibilidades (una menos) sobre 99.999 (una bola menos, la trucada). Por otro lado, tendría que coincidir con la bola del Gordo en el bombo pequeño, que es (como antes) 1 caso entre 1.807.

Como estos dos sucesos serían independientes, su probabilidad sería 1.806/99.999 multiplicado por 1/1.807, que es aproximadamente 0.000009995. Como su probabilidad antes era 1/100.000=0,00001, mantendría aproximadamente el 99,95 % de la probabilidad que tenía antes.

En resumen, en una situación así el número de la bola trucada aumentaría mucho su probabilidad de ganar el Gordo, pero para cualquier otro número la probabilidad disminuiría muy poco.

David Orden Martín (Profesor Titular de Universidad, área de Matemática Aplicada, Universidad de Alcalá)

Publicado originalmente en The Conversation