La regla de Bayes, fórmula matemática datada en 1763 para calcular la probabilidad de un suceso basándose en el conocimiento previo de otro relacionado, puede aplicarse en el mundo cuántico.
Aunque investigadores anteriores habían propuesto análogos cuánticos para la regla de Bayes, un nuevo estudio es el primero en derivar una regla de Bayes cuántica a partir de un principio fundamental.
"Diría que es un gran avance en la física matemática", afirmó el profesor Valerio Scarani, subdirector e investigador principal del Centro de Tecnologías Cuánticas (Universidad Nacional de Singapur) y miembro del equipo, y coautor de la nueva investigación, publicada en Physical Review Letters.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
La regla de Bayes recibe su nombre de Thomas Bayes, quien definió por primera vez sus reglas para probabilidades condicionales en "un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades".
Consideremos el caso de una persona que da positivo en una prueba de gripe. Puede que sospechara estar enferma, pero esta nueva información cambiaría su percepción sobre su salud. La regla de Bayes proporciona un método para calcular la probabilidad de gripe condicionada no solo al resultado de la prueba y a la probabilidad de que esta dé una respuesta incorrecta, sino también a las creencias iniciales del individuo.
La regla de Bayes interpreta las probabilidades como la expresión de grados de creencia en un evento. Esto ha sido objeto de un largo debate, ya que algunos estadísticos creen que las probabilidades deben ser "objetivas" y no basarse en creencias. Sin embargo, en situaciones donde las creencias están involucradas, la regla de Bayes se acepta como guía para el razonamiento. Por esta razón, su uso se ha generalizado, desde el diagnóstico médico y la predicción meteorológica hasta la ciencia de datos y el aprendizaje automático.
PRINCIPIO DE CAMBIO MÍNIMO
Al calcular probabilidades con la regla de Bayes, se cumple el principio de cambio mínimo. Matemáticamente, este principio minimiza la distancia entre las distribuciones de probabilidad conjuntas de la creencia inicial y la actualizada.
Intuitivamente, esta idea es que, para cualquier nueva información, las creencias se actualizan de la forma más mínima posible, compatible con los nuevos datos. En el caso de la prueba de la gripe, por ejemplo, un resultado negativo no implicaría que la persona esté sana, sino que es menos propensa a contraer la gripe.
En su trabajo, el profesor Scarani y su equipo comenzaron con un análogo cuántico del principio de cambio mínimo. Cuantificaron el cambio en términos de fidelidad cuántica, que es una medida de la proximidad entre estados cuánticos.
Los investigadores siempre han creído que debería existir una regla de Bayes cuántica porque los estados cuánticos definen las probabilidades. Por ejemplo, el estado cuántico de una partícula proporciona la probabilidad de que se encuentre en diferentes ubicaciones. El objetivo es determinar el estado cuántico completo, pero la partícula solo se encuentra en una ubicación cuando se realiza una medición. Esta nueva información actualizará la hipótesis, aumentando la probabilidad en torno a esa ubicación.
El equipo derivó su regla de Bayes cuántica maximizando la fidelidad entre dos objetos que representan el proceso directo e inverso, en analogía con una distribución de probabilidad conjunta clásica. Maximizar la fidelidad equivale a minimizar el cambio. Descubrieron que, en algunos casos, sus ecuaciones coincidían con el mapa de recuperación de Petz, propuesto por Dénes Petz en la década de 1980 y posteriormente identificado como uno de los candidatos más probables para la regla de Bayes cuántica basándose únicamente en sus propiedades.
"Esta es la primera vez que lo derivamos a partir de un principio superior, lo que podría ser una validación para el uso del mapa de Petz", afirmó en un comunicado el profesor Scarani.
El mapa de Petz tiene aplicaciones potenciales en la computación cuántica para tareas como la corrección de errores cuánticos y el aprendizaje automático. El equipo planea explorar si la aplicación del principio de cambio mínimo a otras medidas cuánticas podría revelar otras soluciones.
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