Alberto Acosta debutaba en el fútbol argentino un 13 de julio de 1986, en el partido en que Unión, su club, empató 0 a 0 con Argentinos Juniors. A partir de ahí, el "Beto" se convertiría en uno de los goleadores más importantes de los últimos 20 años del fútbol argentino, en donde mantuvo su vigencia hasta el día de su retiro, que fue un un 6 de diciembre de 2003, a la edad de 38 años.
En ese encuentro, el "Beto" anotó dos goles en lo que fue la victoria ante Vélez por 4 a 1 y así alcanzó los 300 goles como profesional. Ese fue el broche para una carrera estupenda, en la que tuvo pasos existosos por Boca y San Lorenzo, como así también en el exterior (Universidad Católica, Sporting Lisboa, Toulouse y Yokohama Marinos). A su vez, cabe destacar que luego del "Ciclón" estuvo un tiempo más en Fénix, equipo de la Primera C, con el que jugó en 2008. Además, estuvo en la Copa América 1993, donde fue campeón, y en 1995.
Entre sus logros, se destaca el haber sido goleador de la Copa Libertadores 1994 con once tantos. Además, fue goleador del Torneo Apertura 1992 y máximo goleador Sudamericano en 1994. A su vez, también se recuerdan golazos como los que le convirtió a River con la camiseta de San Lorenzo y un tanto que le anotó al "Millonario" en el Superclásico con Boca Juniors.